什么是数学

• 选择不证自明的公理（axioms ）作为基础
• 用逻辑的方法推演出一系列的定理（theorems ）

而我们用来证明这些定理的语言叫做元数学，元数学可能就可以说是我们证明定理所使用的语言逻辑。

（不考虑公理是不是真理的情况下）重要的是公理的一致性，也就是它们不应该推演出相互矛盾的定理。而问题在于如何证明公理是有一致性的。 还有完备性：在这个系统里面的任何定理都可以被证明是真的或者假的。

数学也有很多细分的子类，比如群论、数论、几何之类的。不过不同领域之间在推理的逻辑上是可以相互映射的。所以很多人的考虑是先在数论上尝试解决一致性的问题，然后再把结果映射到其他领域。当然也有像罗素，他觉得逻辑学更底层。他组织出一套语言逻辑的公理。把数学的其他领域映射到这上面，并且尝试解决一致性的问题。这样的好处是把元数学这个原本脱离在外的东西包含到了数学系统里面。

哥德尔则证明：我们没办法同时证明这个系统的完备性和一致性。

【数学有一个致命的缺陷【官方双语】【Veritasium真理元素】-哔哩哔哩】 https://b23.tv/OoUdMSw

点滴

我觉得物理、化学、哲学都是这样的。不过每个学科注重的范畴不一样。

那么分析这些学科的各个子学科的内容的时候，就要先清楚它们作为基石的公理。

大部分数学都会着重在第二点上，重视推理过程的正确性。而会相对比较忽视公理的正确性。 物理的公理可能更加与真实的相参照。更加重视第一点。 哲学着重的范畴就更加抽象了，形而上学，道德伦理之类的。